contoh soal dan pembahasan matematika tentang baris dan deret

1. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?

     Jawab :

     Dik :

     deret : 1. 3, 5, 7, ...

     a = 1

     b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2

     Un = a + (n-1) b

          = 1 + (25-1)2

          = 1 +   (24).2

          = 1 + 48

          = 49

     Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49

2. Diketahui suatu deret aritmatika : 3, 7, 11, 15, ...., hitung beda dan suku ke-7 dari contoh deret tersebut?

    Jawab:

    Dik :

    deret : 3,7 , 11, 15, ...

    Ditanya : b dan U7 ?

    Penyelesaian :

    b = 7-3 = 11-7 = 4

    Un = a + (n-1) b

          = 3 + (7-1) 4

          = 3 + (6).4

          = 3 + 24

          = 27

    Jadi beda adalah 4 dan Suku ke-7 adalah 27.

3. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka  cari nilai dari suku pertamanya ?

    Jawab :

    Dik :

    U15 = 32

    b = 2

    n = 15

    Ditanya : a ?

    Penyelesaian :

    Un = a + (n-1) b

    U15 = a + (15-1) 2

    32 = a + (14).2

    32 = a + 28

    a = 32 - 28

    a = 4

    Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4.

4. Hitung jumlah dari suku ke-5 (S5) dari deret berikut : 3, 4, 5, 6, ....?

    Jawab :

    Dik :

    a = 3

    b = 4-3 = 5-4 = 1

    n = 5

    Ditanya : Jumlah suku ke-5 (S5) ?

    Penyelesaian :

    Un = a + (n-1) b

          = 3 + (5-1)1

          = 3 + 4

          = 7

    Sn = 1/2 n ( a + Un )

    S5 = 1/2 .5 (3 +7)

         = 5/2 (10)

         = 25

    Jadi jumlah suku ke-5 dari deret tersebut : 25 .

5. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58.

    Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b)

                     b). Besarnya suku ke-10

    Jawab :
    Diketahui :

    U7 = 33

    U12 = 58

    Penyelesaian :

    a). U7  = a + (7-1)b

          33  = a + 6b 

         U12 = a + (12-1)b

          58   = a + 11b

         Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.

         58 = a + 11b

         33 = a + 6b   (-)

         25 = 5b

         b = 25/5

         b = 5

         

         33 = a + 6b 

         33 = a + 6.(5)

         33 = a + 30

         a   =  33 - 30

         a   = 3

  

    b). Un = a + (n-1) b

         U10 = 3 + (10-1). 5

                 = 3 + (9).5

                 = 3 + 45

                 = 48

Contohsoalbarisdanderetgeometri

1. Carilahsukuke 8 daribarisan di bawahini

   a) 2,4,8,16,32,...    b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...

2. Diketahuibarisangeometridengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 sukupertama

derettersebut?

Solusi :

1. a) U1 = 4                U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27  =  2 . 128 = 256

        U2 = 2

         r = U2 : U1

           = 4 : 2

            = 2

    b) U2 = 1                  U8 = U1 .r8-1 = 2 . (1/2)7 =  2 x 1/128 = 1/64

        U1 = 2

         r = U2 : U1

           = 1 : 2

           = 1/2

2. U3 = a .r3-1   = a . r2 = 27                          27 = U1 . (3)3-1

    U5 = a .r5-1   = a . r4 = 243                        27 = U1 . 32

                                                                       27 = U1 . 9

   U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27              

    r2 = 9                                                            U1 = 27 : 9 = 3

    r = 3

    S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092

Contohsoalbarisandanderetaritmatika

Dari suatubarisanaritmetika, sukuketigaadalah 36, jumlahsukukelimadanketujuhadalah 144.Jumlahsepuluhsukupertamaderettersebutadalah …

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

PEMBAHASAN :

un = a + (n – 1)b

u3 = a + 2b = 36 … (i)

u5 + u7 = 144

(a + 4b) + (a + 6b) = 144

2a + 10b = 144 (kalikan ½)

a + 5b = 72 … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh :

a + 5b = 72

(36 – 2b) + 5b = 72

3b = 36 => b = 12

Kemudiansubstitusinilai b kesalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)), sehinggadiperoleh :

a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12

Setelahnilai a dan b kitadapatkan, kemudiankitamencarinilaidariS10 :

Sn=  (2a + ( n – 1 )b)

S10 =  (2(12) + ( 10 – 1 )12)

   = 5 (24 + (9)12)

   = 5 (24 + 108)

   = 5 (132) = 660

JAWABAN : B

Seorangibumembagikanpermenkepada 5 orang anaknyamenurutaturanderetaritmetika. Semakinmudausiaanaksemakinbanyakpermen yang diperoleh. Jikabanyakpermen yang diterimaanakkedua 11 buahdananakkeempat 19 buah, makajumlahseluruhpermenadalah … buah

A. 60

B. 65

C. 70

D. 75

E. 80

PEMBAHASAN :

u2 = a + b = 11 … (i)

u4 = a + 3b = 19 … (ii)

substitusipersamaan (i) kepersamaan (ii), makadiperoleh :

(11 – b) + 3b = 19

           2b = 8 => b = 4

Kemudiansubstitusinilai b tersebutsalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)) sehinggamenjadi :

a = 11 – b = 11 – 4 = 7

Setelahnilai a dan b kitaperoleh, kemudiansubstitusinilaitersebutkerumusnya :

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S5 =  (2(7) + (5 – 1)4)

  = (14 + (4)4)

=  (14 + 16)

  = (30) = 75

JAWABAN : D

Seoranganakmenabung di suatu bank denganselisihkenaikantabunganantarbulantetap.PadabulanpertamasebesarRp. 50.000,00, bulankedua Rp.55.000,00, bulanketiga Rp.60.000,00, danseterusnya. Besartabungananaktersebutselamaduatahunadalah …

A. Rp. 1.315.000,00

B. Rp. 1.320.000,00

C. Rp. 2.040.000,00

D. Rp. 2.580.000,00

E. Rp. 2.640.000,00

PEMBAHASAN :

u1 = a = Rp. 50.000,00

u2 = Rp. 55.000,00

u3 = Rp. 60.000,00

b = u2 – u1 = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00

2tahun = 24 bulan, jadi n = 24

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S24 =  (2(50.000) + (24 – 1)5.000)

   = 12 (100.000 + 23(50.000))

   = 12 (100.000 + 115.000)

   = 12 (215.000) = 2.640.000

JAWABAN : E

Dari suatuderetaritmetikadiketahui u3 = 13 dan u7 = 29. Jumlahduapuluhlimasukupertamaderettersebutadalah …

A. 3.250

B. 2.650

C. 1.625

D. 1.325

E. 1.225

PEMBAHASAN :

u3 = a + 2b = 13 … (i)

u7 = a + 6b = 29 … (ii)

substitusi (i) ke (ii), sehinggamenjadi :

(13 – 2b) + 6b = 29

            4b = 16 => b = 4

Kemudiannilai b disubstitusikesalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)), sehinggadiperoleh :

a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S25 =  (2(5) + (25 – 1)4)

=  (10 + (24)4)

=  (10 + 96)

=  (106)

   = 25.53 = 1.325

JAWABAN : D

Sukuke – n suatuderetaritmetikaun = 3n – 5. Rumusjumlah n sukupertamaderettersebutadalah …

A. Sn = n/2 (3n – 7)

B. Sn = n/2 (3n – 5)

C. Sn = n/2 (3n – 4)

D. Sn = n/2 (3n – 3)

E. Sn = n/2 (3n – 2)

PEMBAHASAN :

Rumusuntukjumlahsukupertamake-n barisanaritmatikaadalahSn = (2a + (n – 1)b) atauSn =  (a + un). Karenasukuke-n atauundiketahui, makakitagunakanrumus yang keduauntukmencarirumujumlahsukupertamake-n.

un = 3n – 5

u1 = 3(1) – 5 = -2

Sn=  (a + un)

=  (-2 + 3n – 5)

=  (3n – 7)

JAWABAN : A

Jumlah n buahsukupertamaderetaritmetikadinyatakanolehSn=  (5n – 19). Beda derettersebutadalah …

A. -5

B. -3

C. -2

D. 3

E. 5

PEMBAHASAN :

S1 =  (5(1) – 19) = -7

S1 = u1 = a = sukupertama

S2 = latex \frac{2}{2}$ (5(2) – 19) = -9

S2 = u1 + u2 = a + (a + b)

   = -7 + (-7 + b) = -9

                 b = -9 + 14 = 5

JAWABAN : E

Empatbuahbilanganpositifmembentukbarisanaritmatika.Jikaperkalianbilanganpertamadankeempatadalah 46, danperkalianbilangankeduadanketigaadalah 144, makajumlahkeempatbilangantersebutadalah …

A. 49

B. 50

C. 60

D. 95

E. 98

PEMBAHASAN :

u1.u4 = a(a + 3b) = a2 + 3ab = 46 … (i)

u2.u3 = (a + b)(a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 = 144 … (ii)

subsitusi (i) ke (ii), sehinggamenjadi :

a2 + 3ab + 2b2 = 46 + 2b2 = 144

           2b2 = 98

            b2 = 49 => b = 7

substitusinilai b kepersamaan (i) :

a2 + 3a(7) = 46

a2 + 21a – 46 = 0

(a + 23)(a – 2) = 0

a = -23 atau a = 2

untuk a = -23

S4 =  (2(-23) + (4 – 1)7)

   = 2(-26 + 21)

   = 2(-5) = 10

untuk a = 2

S4 =  (2(2) + (4 – 1)7)

   = 2(4 + 21)

   = 2(25) = 50

JAWABAN : B

Jumlah n sukupertamaderetaritmetikaadalahSn = n2 + 5/2 n. Beda darideretaritmetikatersebutadalah …

A. -11/2

B. -2

C. 2

D. 5/2

E. 11/2

PEMBAHASAN :

Sn = n2 + 5/2 n

S1 = (1)2 + 5/2 (1) = 7/2

S1 = u1 = a

S2 = (2)2 + 5/2 (2) = 9

S2 = u1 + u2 = a + (a + b)

9 = 7/2 + (7/2 + b)

9 – 7 = b

    2 = b

JAWABAN : C

Dari deretaritmetikadiketahuisukutengah 32. Jikajumlah n sukupertamaderetitu 672, banyaksukuderettersebutadalah …

A. 17

B. 19

C. 21

D. 23

E. 25

PEMBAHASAN :

ut = ½(a + un) = 32

a + un = 32(2)

a + un = 64

Sn=  (a + un)

672 =  (64)

672 = n (32)

21 = n

JAWABAN : C

Contohsoalbarisdanderetgeomerti

SebuahmobildibelidenganhagaRp. 80.000.000,00. Setiaptahunnilaijualnyamenjadi ¾ darihargasebelumnya.Berapanilaijualsetelahdipakai 3 tahun ?

A. Rp. 20.000.000,00

B. Rp. 25.312.500,00

C. Rp. 33.750.000,00

D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

PEMBAHASAN :

Kata kuncidalamsoaliniadalah “Setiaptahunnilaijualnyamenjadi 3/4 darihargasebelumnya”, iniartinyarasionya 3/4 dantermasukdalamderetgeometri.

Yang jadipertanyaannyaadalahsuku ke-4 dengan a = 80.000.000

u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

JAWABAN : C

Sebuah bola jatuhdariketinggian 10 m danmemantulkembalidenganketinggian ¾ kali tinggisebelumnya, begituseterusnyahingga bola berhenti.Jumlahseluruhlintasan bola adalah …

A. 65m

B. 70m

C. 75m

D. 77m

E. 80m

PEMBAHASAN :

Karena bola memantulterus-terusansampaiberhenti, berartiinitermasukderetgeometritakhingga. Untukmencaripanjanglintasan bola yang memantulini, rumus yang digunakanadalah

Panjanglintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali derettakhingga)

Dalamderettakhinggaini, yang menjadisukupertamayaadalahpantulanpertama (bukanketinggian bola jatuhpadaawal).

Pantulanpertama = 10 x ¾ = 30/4 m (sukupertama)

 =

    =

=  = 30

P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m

JAWABAN : B

Seutastalidipotongmenjadi 7 bagiandanpanjangmasing–masingpotonganmembentukbarisangeometri.Jikapanjangpotongantaliterpendeksamadengan 6cm danpotongantaliterpanjangsamadengan 384cm, panjangkeseluruhantalitersebutadalah … cm.

A. 378

B. 390

C. 570

D. 762

E. 1.530

PEMBAHASAN :

u1 = a = 6

u7 = ar6 = 384

6.r6 = 384

r6 = 64 => r = 2

Sn =

S7 =

=  = 762

JAWABAN : D

Sebuah bola pingpongdijatuhkandariketinggian 25 m danmemantulkembalidenganketinggian 4/5 kali tinggisemula.Pematulaniniberlangsungterusmenerushingga bola berhenti.Jumlahseluruhlintasan bola adalah … m.

A. 100

B. 125

C. 200

D. 225

E. 250

PEMBAHASAN :

Karena bola memantulterus-terusansampaiberhenti, berartiinitermasukderetgeometritakhingga. Untukmencaripanjanglintasan bola yang memantulini, rumus yang digunakanadalah

Panjanglintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali derettakhingga)

Dalamderettakhinggaini, yang menjadisukupertamayaadalahpantulanpertama (bukanketinggian bola jatuhpadaawal).

Pantulanpertama = 25 x 4/5 = 20m (sukupertama)

 =

    =

=  = 100

P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m

JAWABAN : D

Jumlahderetgeometritakhingga  + 1 +  + ½ + … = …

A. 2/3 ( + 1)

B. 3/2 ( + 1)

C. 2 ( + 1)

D. 3 ( + 1)

E. 4 ( + 1)

PEMBAHASAN :

r = u2 / u1 = 1 /  = ½

    =

    =

x

    =

    =

    = 2( + 1$

JAWABAN : C

Jumlahderetgeometritakhinggaadalah 7, sedangkanjumlahsuku – suku yang bernomorgenapadalah 3. Sukupertamaderettersebutadalah …

A. 7/4

B. ¾

C. 4/7

D. ½

E. ¼

PEMBAHASAN :

Deretgeometri    :     a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …

Perhatikansukugenapdanganjilnya, dimanapadasuku-sukugenap, sukupertamanyaadalahardanpadasuku-sukuganjil, sukupertamanyaadalahar, denganrasionyaadalah r2.

  7 =

7(1 – r) = a … (i)

Berdasarkanrumusjumlahderetgeometritakhinggadiatas, makakitamemperolehrumusderetgeometritakhinggabersukugenapdenganmenggantisukuawaldengan “ar” danrasionya “r2“.

Sgenap =

    3 =

3(1 – r2) = ar … (ii)

Substitusi (i) ke (ii), sehinggadiperoleh :

3(1 – r2) = (7(1 – r))r

3 – 3r2 = 7r – 7r2

4r2 – 7r + 3 = 0

(4r-3)(r-1) = 0

r = ¾ atau r = 1

substitusinilai “r” tersebutkepersamaan (i), sehinggadiperoleh :

untuk r = ¾

      a = 7(1 – r) = 7(1 – ¾) = 7/4

untuk r = 1

      a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

JAWABAN : A

Pertambahanpenduduksuatukotatiaptahunmengikutiaturanbarisangeometri. Padatahun 1996 pertambahannyasebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahanpendudukpadatahun 2001 adalah … orang.

A. 324

B. 486

C. 648

D. 1.458

E. 4.374

PEMBAHASAN :

tahun 1996 => u1 = a = 6

tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

6.r2 = 54

r2 = 9 => r = 3

tahun 2001 => u6 = ar5

6.(3)5 = 1.458

JAWABAN : D

Diketahuibarisangeometridengan u1 = x ¾ dan u4 = x. Rasiobarisangeometritesebutadalah …

A. x2.

B. x2

C. x1/4

D.

E.

PEMBAHASAN :

u4 = x = x3/2

u4 / u1 = x3/2 / x ¾ = x ¾

r 3 = x ¾ => r = x 1/4

JAWABAN : E